اسمارت / فصل I / §§1–3

عظیمه‌ها، صغیره‌ها و زاویهٔ کروی

برای یک ناظر ثابت، هر خط دید نقطه‌ای روی کره تعیین می‌کند. شعاع انتخابی فاصلهٔ واقعی ستاره نیست. تغییر شعاع، زاویه‌ها را ثابت نگه می‌دارد ولی طول کمان‌ها را تغییر می‌دهد.

آزمایش روی کره همهٔ درس‌ها

پیش از شروع: نماد و واحد

a، b، c اضلاع زاویه‌ای و A، B، C زاویه‌های رأس مقابل‌اند. طول کمان برابر شعاع ضرب در زاویهٔ رادیانی است. مثلث معمول را محدب و غیرمنحط با کمان‌های کوتاه می‌گیریم.

روابط اصلی

\ell_{\rm great}=R\sigma

طول عظیمه؛ σ رادیانی

\ell_{\rm small}=R\sin\theta\,|\Delta\lambda|

طول مسیر صغیره

کره، مدل جهت است

صفحه، قطب و دایره

صفحهٔ گذرنده از مرکز عظیمه می‌سازد. صفحهٔ با فاصلهٔ d از مرکز، برای قدرمطلق d کمتر از R، صغیره‌ای به شعاع ریشهٔ R² − d² می‌سازد. دو جهت عمود بر صفحه قطب‌های پادپا هستند.

\rho=R\sin\theta,\quad d=R\cos\theta

زاویهٔ رأس و زاویهٔ مرکزی

زاویهٔ کروی در P زاویهٔ مماس‌های دو کمان عظیمه در P است. تنها اگر A و B روی استوای قطب P باشند این زاویه با AOB برابر است. میان منحنی‌های دیگر هم زاویهٔ مماسی تعریف می‌شود، اما ضلع مثلث کروی معمول از عظیمه است.

طول صغیره از کدام زاویه؟

برای چرخش Δλ حول قطب با فاصلهٔ قطبی θ، طول مسیر R sin θ ضرب در قدرمطلق Δλ است؛ Δλ باید رادیانی باشد. این طول با جدایی عظیمهٔ دو انتها برابر نیست.

\ell_{\rm small}=R\sin\theta\,|\Delta\lambda|

شکل و ساخت هندسی

صفحهٔ مرکزی عظیمه می‌سازد؛ صغیره با فاصلهٔ ثابت از قطب قرار دارد.

کمان موازی 50° شمالی

Smart I §§3–4, formulae (1)–(2)

داده‌ها: روی موازی عرض 50°، اختلاف طول جغرافیایی 20°.

خواسته: طول کمان موازی بر حسب کمان استوایی.

گام 1
اختلاف طول را به رادیان می‌بریم و در شعاع موازی ضرب می‌کنیم.
$\ell/R=(20\pi/180)\cos50^\circ\simeq0.2243752$

طول مسیر 0٫2243752R است؛ زاویهٔ معادل عظیمه 12٫85575 درجه است، نه جدایی عظیمهٔ دو انتها.

اسمارت (2): HX = LY cos θ

LY, θ20°, 50°

HX12° 51′ 20.7″

مایل دریایی771

خودآزمایی

صغیره‌ای با فاصلهٔ قطبی 30 درجه و شعاع کرهٔ 2 داریم. شعاع صغیره و طول یک دور کامل آن چیست؟

تمرین تألیفی

نمایش پاسخ و مقایسه

\rho=2\sin30^\circ=1,\quad L=2\pi

فرض‌ها و دامنهٔ اعتبار روابط این درس را بنویسید و یک حالت ویژه را با جایگذاری مستقیم بررسی کنید.

تمرین تألیفی