اسمارت / فصل I / §§2–3

تعریف مثلث کروی

سه رأس متمایز، غیرپادپا و غیرواقع بر یک عظیمه در یک نیم‌کرهٔ باز، با کمان‌های کوتاه عظیمه مثلث محدب می‌سازند. هم‌مکانی یا هم‌خطی کروی، حالت منحط است.

آزمایش روی کره همهٔ درس‌ها

پیش از شروع: نماد و واحد

a، b، c اضلاع زاویه‌ای و A، B، C زاویه‌های رأس مقابل‌اند. طول کمان برابر شعاع ضرب در زاویهٔ رادیانی است. مثلث معمول را محدب و غیرمنحط با کمان‌های کوتاه می‌گیریم.

روابط اصلی

0<a,b,c,A,B,C<\pi

دامنهٔ اجزا

\pi<A+B+C<3\pi

مجموع زوایا

مثلث معمول و شرایط وجود

قرارداد اضلاع مقابل

a فاصلهٔ زاویه‌ای B تا C و A زاویهٔ مماس‌ها در رأس A است؛ همین قرارداد چرخه‌ای ادامه دارد. ضلع و زاویهٔ هم‌نام لزوماً برابر نیستند.

a=\widehat{BC},\quad b=\widehat{CA},\quad c=\widehat{AB}

پیش از معکوس مثلثاتی

هر ضلع باید بین صفر و π، از مجموع دو ضلع دیگر کوچک‌تر و مجموع اضلاع کمتر از 2π باشد. محدود کردن ورودی arccos دادهٔ نامعتبر را معتبر نمی‌کند.

|b-c|<a<\min(b+c,2\pi-b-c)

شکل و ساخت هندسی

کمان‌ها از تقاطع صفحهٔ مرکزی با کره محاسبه شده‌اند. خط‌چین پشت کره است.

مثال حل‌شده و کنترل نتیجه

کاربرد تألیفی

داده‌ها: آیا اضلاع 20، 30، 60 درجه مثلث معمول می‌سازند؟ اضلاع 90، 90، 90 درجه چطور؟

خواسته: نتیجه را با روابط همین درس و کنترل واحدها به دست آورید.

گام 1
ابتدا قرارداد علامت‌ها و داده‌های معلوم را مشخص کنید؛ سپس رابطهٔ متناسب را انتخاب کنید.
گام 2
پس از جایگذاری و ساده‌سازی، نتیجهٔ زیر به دست می‌آید. شرایط وجود و ربع را نیز کنترل کنید.
$20+30<60:\ \text{invalid};\quad(90^\circ,90^\circ,90^\circ):\ \text{valid octant}$

نتیجهٔ نهایی در رابطهٔ بالا آمده است؛ زاویه و طول را با یکدیگر مخلوط نکنید.

خودآزمایی

آیا اضلاع 20، 30، 60 درجه مثلث معمول می‌سازند؟ اضلاع 90، 90، 90 درجه چطور؟

تمرین تألیفی

نمایش پاسخ و مقایسه

20+30<60:\ \text{invalid};\quad(90^\circ,90^\circ,90^\circ):\ \text{valid octant}

فرض‌ها و دامنهٔ اعتبار روابط این درس را بنویسید و یک حالت ویژه را با جایگذاری مستقیم بررسی کنید.

تمرین تألیفی