درس‌نامهٔ کروی · فصل‌های 1 تا 3

اسمارت I · §§1–3 · ص. 1–4

عظیمه‌ها، صغیره‌ها و زاویهٔ کروی

برای یک ناظر ثابت، هر خط دید نقطه‌ای روی کره تعیین می‌کند. شعاع انتخابی فاصلهٔ واقعی ستاره نیست. تغییر شعاع، زاویه‌ها را ثابت نگه می‌دارد ولی طول کمان‌ها را تغییر می‌دهد.

مقدماتی · ≈ 45 دقیقه

اسمارت I · §§2–3 · ص. 2–4

تعریف مثلث کروی

سه رأس متمایز، غیرپادپا و غیرواقع بر یک عظیمه در یک نیم‌کرهٔ باز، با کمان‌های کوتاه عظیمه مثلث محدب می‌سازند. هم‌مکانی یا هم‌خطی کروی، حالت منحط است.

مقدماتی · ≈ 20 دقیقه

اسمارت I · §4 · ص. 4–6

عرض و طول جغرافیایی زمینی

عرض φ از استوا شمال‌مثبت و طول λ از گرینویچ شرق‌مثبت است. فاصلهٔ قطبی شمال π/2 − φ است و در جنوب از π/2 بزرگ‌تر می‌شود. مدل کروی تفاوت عرض ژئودتیک و زمین‌مرکزی را نادیده می‌گیرد.

مقدماتی · ≈ 40 دقیقه

اسمارت I · §5 · ص. 6–9

فرمول کسینوس — صورت (A)

دو ضلع b و c و زاویهٔ شامل A ضلع a را یکتا تعیین می‌کنند. اگر سه ضلع معلوم باشد، ابتدا وجود مثلث را کنترل و سپس cos A را جدا می‌کنیم. اثبات برداری پایین، برای ضلع منفرجه هم معتبر است.

متوسط · ≈ 55 دقیقه

اسمارت I · §6 · ص. 9–10

فرمول سینوس — صورت (B)

در اثبات پایین، مربع قانون کسینوس چندجمله‌ای متقارنی می‌دهد. تقسیم بر مربع سینوس هر سه ضلع، نسبتی یکسان برای سه رأس می‌سازد. مثبت بودن سینوس اجزا، ریشهٔ مثبت را توجیه می‌کند.

متوسط · ≈ 45 دقیقه

اسمارت I · §7 · ص. 10–11

فرمول مشابه کسینوس — صورت (C)

قانون سینوس فقط sin B را می‌دهد؛ فرمول مشابه cos B را نیز می‌دهد. با هر دو مؤلفه، atan2 ابهام مکمل را برطرف می‌کند.

المپیاد · ≈ 40 دقیقه

اسمارت I · §8 · ص. 12

فرمول چهار جزء — صورت (D)

روی مرز مثلث B، a، C، b را دنبال کنید. ضلع داخلی a میان دو زاویه و زاویهٔ داخلی C میان دو ضلع است. رابطهٔ نهایی c و A را حذف می‌کند.

المپیاد · ≈ 40 دقیقه

اسمارت I · §§9–10 · ص. 12–15

مثلث قائم و قواعد نپر

قائمه بودن C شرط روی زاویه است؛ ربعی بودن c شرط روی ضلع. قطبی گرفتن این دو را به هم تبدیل می‌کند. در هندسهٔ کروی وتر لزوماً از هر دو ساق بلندتر نیست.

المپیاد · ≈ 45 دقیقه

اسمارت I · §11 · ص. 15–16

مثلث قطبی و فرمول زوایا

هر ضلع دو قطب پادپا دارد. قطب BC را در نیم‌کرهٔ A انتخاب کنید و چرخه‌ای ادامه دهید. علامت ناسازگار روابط مکمل را تغییر می‌دهد.

متوسط · ≈ 40 دقیقه

اسمارت I · §§12–14 · ص. 16–21

مثال عددی اسمارت و فرمول هاورساین

دو مکان A و B را به قطب شمال وصل کنید. اضلاع قطبی متمم عرض‌ها و زاویهٔ شامل اختلاف طول است. از اختلاف طول جهت‌دار هم می‌توان استفاده کرد چون کسینوس و هاورساین زوج‌اند.

المپیاد · ≈ 55 دقیقه

اسمارت I · §§15–16 · ص. 21–24

زوایای کوچک، دلامبر و قیاسی‌های نپر

sin θ تقریباً θ فقط برای θ رادیانی درست است. یک دقیقهٔ زمان 15 دقیقهٔ قوسی، یعنی 900 ثانیهٔ قوسی است؛ ضریب 15 تقسیم بر 206265 برای دقیقهٔ زمان یک عامل 60 کم دارد.

المپیاد · ≈ 40 دقیقه

اسمارت I · supplement (Girard / L’Huilier) · ص. —

مساحت مثلث کروی (مکمل المپیاد)

زیادی E مجموع زاویه‌ها منهای π است و زاویه‌ها باید رادیانی باشند. روی کرهٔ واحد مساحت عددی برابر E است؛ زاویهٔ فضایی استرادیان و مساحت فیزیکی واحد طول مربع دارد.

متوسط · ≈ 35 دقیقه

اسمارت II · §§17–18 · ص. 25–27

ارتفاع و سمت

سمت‌الرأس امتداد شاقول به بالاست و افق هندسی بر آن عمود است. ارتفاع h بالای افق مثبت و فاصلهٔ سمت‌الرأسی z از بالای سر سنجیده می‌شود. افق طبیعی با عوارض زمین ممکن است با افق هندسی فرق کند.

متوسط · ≈ 45 دقیقه

اسمارت II · §19 · ص. 28–30

میل و زاویهٔ ساعتی

میل δ از استوا شمال‌مثبت است و بعد α از اعتدال بهاری به شرق بین صفر و 24 ساعت سنجیده می‌شود. مختصات کاتالوگ چارچوب و مبدأ زمانی دارند؛ تقدیم و حرکت خاص را با چرخش روزانه یکی نگیرید.

متوسط · ≈ 50 دقیقه

اسمارت II · §21 · ص. 32–33

ستارگان قطبی‌گذر؛ عبور بالا و پایین

در فرمول ارتفاع h را صفر می‌گذاریم. برای ناظر و ستارهٔ غیرقطبی، تقسیم بر cos φ cos δ مجاز است. اگر قدرمطلق طرف راست از یک بیشتر باشد، عبور از افق وجود ندارد.

المپیاد · ≈ 40 دقیقه

اسمارت II · §§22–23 · ص. 33–36

کرهٔ سماوی زمین‌مرکز و مثلث PZX

P قطب شمال، Z سمت‌الرأس و X جهت ستاره است. اضلاع قطبی متمم عرض و میل و ZX فاصلهٔ سمت‌الرأسی است. زاویهٔ داخلی P کوچک‌ترِ زاویهٔ بین نصف‌النهارهاست؛ برای زمان و سمت از H جهت‌دار استفاده می‌کنیم.

المپیاد · ≈ 55 دقیقه

اسمارت II · §§24, 27 · ص. 36–37, 41–42

بعد، نقطهٔ اعتدال و زمان نجومی

زمان نجومی محلی زاویهٔ ساعتی اعتدال بهاری است. برای ستاره در عبور بالایی، LST برابر بعد است. این زمان را با ساعت مدنی یا UTC یکی نگیرید.

متوسط · ≈ 50 دقیقه

اسمارت II · §§25–26 · ص. 37–40

مدار زمین، دایرة‌البروج و عرض‌طول سماوی

دایرة‌البروج صفحهٔ مرجع مداری زمین است و روی کره عظیمه می‌سازد. اعتدال بهاری عبور شمال‌سوی خورشید از استوا و مبدأ λ و α است. میل ε میان دو صفحه با مبدأ زمانی تغییر می‌کند.

المپیاد · ≈ 50 دقیقه

اسمارت II · §§28–29 · ص. 42–46

زمان خورشیدی متوسط و نمونهٔ منطقهٔ زمانی

روز خورشیدی ظاهری از عبورهای خورشید واقعی تعریف می‌شود و یکنواخت نیست. خورشید متوسط مرجعی قراردادی برای حرکت یکنواخت است. زمان مدنی منطقه‌ای و زمان نجومی نیز تعریف‌های دیگری دارند.

متوسط · ≈ 45 دقیقه

اسمارت II · §30 · ص. 44–46

تبدیل بازهٔ زمان خورشیدی و نجومی

زمین در مدار به جلو می‌رود؛ برای بازگشت خورشید به نصف‌النهار، کمی بیش از یک چرخش نسبت به ستارگان لازم است. پس روز نجومی کوتاه‌تر از روز خورشیدی متوسط است.

المپیاد · ≈ 35 دقیقه

اسمارت II · §32 · ص. 48–51

نرخ تغییر ارتفاع و سمت

در بازهٔ کوتاه φ و δ را ثابت می‌گیریم و H متغیر است. همهٔ مشتق‌های زاویه نسبت به زاویه در این درس رادیان بر رادیان‌اند؛ نرخ زمانی با ضرب در dH/dt به دست می‌آید.

المپیاد · ≈ 35 دقیقه

اسمارت II · §33 · ص. 51–52

شفق و پایان تاریکی نجومی

بعد از غروب، پراکندگی نور جو آسمان را روشن نگه می‌دارد. آستانه‌های متداول ارتفاع هندسی مرکز خورشید منفی 6، 12 و 18 درجه به‌ترتیب شفق مدنی، دریایی و نجومی‌اند. اسمارت پایان شفق را با فاصلهٔ سمت‌الرأسی 108 درجه بحث می‌کند.

المپیاد · ≈ 35 دقیقه

اسمارت III · §§34–35 · ص. 58–62

شکست نور

از قانون اسنل تا تقریب شکست: جهت حقیقی و ظاهری، مدل لایه‌های تخت و محدودیت‌های آن.

المپیاد · ≈ 40 دقیقه

اسمارت III · §36 · ص. 62–65

جو کروی: ناوردا و انتگرال شکست

برای فاصله‌های سمت‌الرأسی بزرگ، عمودهای لایه‌ها دیگر موازی نیستند. جو را پوسته‌های کروی هم‌مرکز با زمین و μ را تابع شعاع r فرض می‌کنیم. i زاویهٔ پرتو با شعاع محلی است؛ آن را با ζ ناظر یکی نگیرید.

المپیاد · ≈ 40 دقیقه

اسمارت III · §§37–38 · ص. 65–69

بسط شکست و تعیین ضرایب

اسمارت r/a = 1 + s می‌گذارد و انتگرال را برای s کوچک بسط می‌دهد. کوچک بودن ارتفاع جو کافی نیست؛ نزدیک افق مخرج کوچک می‌شود و بسط اعتبار ندارد.

المپیاد · ≈ 40 دقیقه

اسمارت III · §39 and exercises · ص. 69–73

شکست، افق و زمان غروب

ستارهٔ نقطه‌ای در افق ظاهری ارتفاع ظاهری صفر و ارتفاع هندسی تقریباً منفی R افقی دارد. مقدار حدود 34 دقیقهٔ قوسی نمونهٔ مرجع و وابسته به جو است؛ از تانژانت 90 درجه محاسبه نمی‌شود.

المپیاد · ≈ 40 دقیقه

اسمارت II · historical companion · ص. —

اطلس صوفی در کنار اسمارت

عبدالرحمن صوفی در صور الکواکب هر 48 صورت بطلمیوسی را در دو منظر کره و آسمان ثبت کرد — همدم تاریخی کرهٔ اسمارت. این درس قدر، دو منظر و اطلس سایت را به فصل II گره می‌زند.

مقدماتی · ≈ 25 دقیقه