ماندریاهندسهٔ آسمان را کشف کنید

اسمارت / فصل I / §6

فرمول سینوس — صورت (B)

در اثبات پایین، مربع قانون کسینوس چندجمله‌ای متقارنی می‌دهد. تقسیم بر مربع سینوس هر سه ضلع، نسبتی یکسان برای سه رأس می‌سازد. مثبت بودن سینوس اجزا، ریشهٔ مثبت را توجیه می‌کند.

آزمایش روی کرههمهٔ درس‌ها

پیش از شروع: نماد و واحد

a، b، c اضلاع زاویه‌ای و A، B، C زاویه‌های رأس مقابل‌اند. طول کمان برابر شعاع ضرب در زاویهٔ رادیانی است. مثلث معمول را محدب و غیرمنحط با کمان‌های کوتاه می‌گیریم.

روابط اصلی

sin⁡asin⁡A=sin⁡bsin⁡B=sin⁡csin⁡C\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}

قانون سینوس

01

از تقارن تا نسبت مشترک

در اثبات پایین، مربع قانون کسینوس چندجمله‌ای متقارنی می‌دهد. تقسیم بر مربع سینوس هر سه ضلع، نسبتی یکسان برای سه رأس می‌سازد. مثبت بودن سینوس اجزا، ریشهٔ مثبت را توجیه می‌کند.

02

ابهام دو ضلع و زاویهٔ غیرشامل

arcsin تنها یک نامزد می‌دهد و مکملش هم ممکن است معتبر باشد. هر دو را با قانون کسینوس و شرط وجود کنترل کنید؛ بسته به داده، صفر، یک یا دو جواب ممکن است.

شکل و ساخت هندسی

ABCabcتصویر قائم · کرهٔ واحد · کمان‌های کوتاه
کمان‌ها از تقاطع صفحهٔ مرکزی با کره محاسبه شده‌اند. خط‌چین پشت کره است.

استنتاج پیوسته

کارگاه اثبات ←

Smart I §6, formula (B)

1. شروع از قانون کسینوس

فرض می‌کنیم همهٔ اضلاع و زوایا بین صفر و π هستند. ابتدا cos A را جدا می‌کنیم؛ مخرج ناصفر است.

cos⁡A=cos⁡a−cos⁡bcos⁡csin⁡bsin⁡c\cos A=\frac{\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}

2. مربع سینوس

از sin² A = 1 − cos² A استفاده و مخرج را مشترک می‌کنیم؛ سپس sin² b و sin² c را باز می‌کنیم.

sin⁡2bsin⁡2csin⁡2A=1−cos⁡2a−cos⁡2b−cos⁡2c+2cos⁡acos⁡bcos⁡c=:D\sin^2b\sin^2c\sin^2A=1-\cos^2a-\cos^2b-\cos^2c+2\cos a\cos b\cos c=:D

3. تقارن واقعی

دو طرف را بر حاصل‌ضرب مربع سینوس هر سه ضلع تقسیم می‌کنیم. طرف راست در a، b، c متقارن است؛ بنابراین جایگزینی چرخه‌ای A با B یا C مقدار را عوض نمی‌کند.

sin⁡2Asin⁡2a=Dsin⁡2asin⁡2bsin⁡2c=sin⁡2Bsin⁡2b=sin⁡2Csin⁡2c\frac{\sin^2 A}{\sin^2 a}=\frac D{\sin^2a\sin^2b\sin^2c}=\frac{\sin^2 B}{\sin^2 b}=\frac{\sin^2 C}{\sin^2 c}

4. ریشهٔ مثبت

سینوس هر جزء مثبت است؛ پس علامت منفی حذف می‌شود. معکوس نسبت‌ها صورت متداول قانون را می‌دهد.

sin⁡asin⁡A=sin⁡bsin⁡B=sin⁡csin⁡C\boxed{\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}}

5. چرا arcsin کافی نیست؟

سینوس زاویه و مکمل آن برابر است. هر دو نامزد را باید با قانون کسینوس و داده‌های مسئله بررسی کرد؛ وجود یک جواب را نمی‌توان پیشاپیش فرض کرد.

sin⁡A=k⇒A=arcsin⁡k or π−arcsin⁡k\sin A=k\Rightarrow A=\arcsin k\ \text{or}\ \pi-\arcsin k

مثال حل‌شده و کنترل نتیجه

کاربرد تألیفی

داده‌ها: برای a = 50، b = 40 و A = 120 درجه، دو نامزد B را بیابید. چرا نامزد منفرجه رد می‌شود؟

خواسته: نتیجه را با روابط همین درس و کنترل واحدها به دست آورید.

  1. گام 1

    قانون سینوس می‌دهد sin B = sin 40 درجه ضرب در sin 120 درجه تقسیم بر sin 50 درجه. معکوس سینوس و مکملش دو نامزد می‌دهند.

  2. گام 2

    چون a از b بزرگ‌تر است، زاویهٔ مقابلش A باید از B بزرگ‌تر باشد. نامزد 133٫39108 درجه از 120 درجه بزرگ‌تر است، پس رد می‌شود.

    B≃46.60892∘ or 133.39108∘;a>b⇒A>BB\simeq46.60892^\circ\ \text{or}\ 133.39108^\circ;\quad a>b\Rightarrow A>B

نتیجهٔ نهایی در رابطهٔ بالا آمده است؛ زاویه و طول را با یکدیگر مخلوط نکنید.

خودآزمایی

برای a = 50، b = 40 و A = 120 درجه، دو نامزد B را بیابید. چرا نامزد منفرجه رد می‌شود؟

تمرین تألیفی

نمایش پاسخ و مقایسه
B≃46.60892∘ or 133.39108∘;a>b⇒A>BB\simeq46.60892^\circ\ \text{or}\ 133.39108^\circ;\quad a>b\Rightarrow A>B

فرض‌ها و دامنهٔ اعتبار روابط این درس را بنویسید و یک حالت ویژه را با جایگذاری مستقیم بررسی کنید.

تمرین تألیفی

MANDERIA

آسمان را با ماندریا کشف کنید

برای کار با کرهٔ سه‌بعدی، حسگر ستاره و اطلس صوفی، با حساب گوگل خود وارد شوید. درس‌نامهٔ کروی بدون ورود هم در دسترس است.

فقط مشخصات پایهٔ حساب و ایمیل تأییدشده ذخیره می‌شود؛ به صندوق Gmail شما دسترسی نداریم. حریم خصوصی