ماندریاهندسهٔ آسمان را کشف کنید

اسمارت / فصل I / §7

فرمول مشابه کسینوس — صورت (C)

قانون سینوس فقط sin B را می‌دهد؛ فرمول مشابه cos B را نیز می‌دهد. با هر دو مؤلفه، atan2 ابهام مکمل را برطرف می‌کند.

آزمایش روی کرههمهٔ درس‌ها

پیش از شروع: نماد و واحد

a، b، c اضلاع زاویه‌ای و A، B، C زاویه‌های رأس مقابل‌اند. طول کمان برابر شعاع ضرب در زاویهٔ رادیانی است. مثلث معمول را محدب و غیرمنحط با کمان‌های کوتاه می‌گیریم.

روابط اصلی

sin⁡acos⁡B=cos⁡bsin⁡c−sin⁡bcos⁡ccos⁡A\sin a\cos B=\cos b\sin c-\sin b\cos c\cos A

فرمول مشابه

01

دلیل نیاز به فرمول مشابه

قانون سینوس فقط sin B را می‌دهد؛ فرمول مشابه cos B را نیز می‌دهد. با هر دو مؤلفه، atan2 ابهام مکمل را برطرف می‌کند.

02

جانشینی بدون شکل اضافی

قانون کسینوس برای b را بنویسید و cos a را از صورت بنیادی جایگزین کنید. در اثبات پایین عامل‌گیری و حذف sin c به طور کامل آمده است؛ این عامل در مثلث معمول مثبت است.

شکل و ساخت هندسی

ABCabcتصویر قائم · کرهٔ واحد · کمان‌های کوتاه
کمان‌ها از تقاطع صفحهٔ مرکزی با کره محاسبه شده‌اند. خط‌چین پشت کره است.

استنتاج پیوسته

کارگاه اثبات ←

Smart I §7, formula (C)

1. قانون کسینوس برای b

قانون کسینوس را با ضلع روبه‌روی B می‌نویسیم و جملهٔ شامل cos B را جدا می‌کنیم.

sin⁡acos⁡B=cos⁡b−cos⁡ccos⁡asin⁡c\sin a\cos B=\frac{\cos b-\cos c\cos a}{\sin c}

2. جانشینی روشن

در صورت، cos a را از قانون کسینوس بنیادی جایگزین می‌کنیم؛ هر جمله را پیش از ساده‌سازی نگه می‌داریم.

cos⁡b−cos⁡ccos⁡a=cos⁡b−cos⁡bcos⁡2c−sin⁡bsin⁡ccos⁡ccos⁡A\cos b-\cos c\cos a=\cos b-\cos b\cos^2c-\sin b\sin c\cos c\cos A

3. استخراج عامل

دو جملهٔ اول برابر cos b sin² c هستند. عامل sin c را استخراج و تقسیم می‌کنیم؛ این عامل در مثلث غیرمنحط مثبت است.

sin⁡acos⁡B=cos⁡bsin⁡c−sin⁡bcos⁡ccos⁡A\boxed{\sin a\cos B=\cos b\sin c-\sin b\cos c\cos A}

مثال حل‌شده و کنترل نتیجه

کاربرد تألیفی

داده‌ها: در هشتک با سه ضلع 90 درجه، هر دو طرف فرمول مشابه را حساب کنید. آیا رابطه B = 90 درجه را تأیید می‌کند؟

خواسته: نتیجه را با روابط همین درس و کنترل واحدها به دست آورید.

  1. گام 1

    ابتدا قرارداد علامت‌ها و داده‌های معلوم را مشخص کنید؛ سپس رابطهٔ متناسب را انتخاب کنید.

  2. گام 2

    پس از جایگذاری و ساده‌سازی، نتیجهٔ زیر به دست می‌آید. شرایط وجود و ربع را نیز کنترل کنید.

    sin⁡acos⁡B=0=cos⁡bsin⁡c−sin⁡bcos⁡ccos⁡A\sin a\cos B=0=\cos b\sin c-\sin b\cos c\cos A

نتیجهٔ نهایی در رابطهٔ بالا آمده است؛ زاویه و طول را با یکدیگر مخلوط نکنید.

خودآزمایی

در هشتک با سه ضلع 90 درجه، هر دو طرف فرمول مشابه را حساب کنید. آیا رابطه B = 90 درجه را تأیید می‌کند؟

تمرین تألیفی

نمایش پاسخ و مقایسه
sin⁡acos⁡B=0=cos⁡bsin⁡c−sin⁡bcos⁡ccos⁡A\sin a\cos B=0=\cos b\sin c-\sin b\cos c\cos A

فرض‌ها و دامنهٔ اعتبار روابط این درس را بنویسید و یک حالت ویژه را با جایگذاری مستقیم بررسی کنید.

تمرین تألیفی

MANDERIA

آسمان را با ماندریا کشف کنید

برای کار با کرهٔ سه‌بعدی، حسگر ستاره و اطلس صوفی، با حساب گوگل خود وارد شوید. درس‌نامهٔ کروی بدون ورود هم در دسترس است.

فقط مشخصات پایهٔ حساب و ایمیل تأییدشده ذخیره می‌شود؛ به صندوق Gmail شما دسترسی نداریم. حریم خصوصی