ماندریاهندسهٔ آسمان را کشف کنید

اسمارت / فصل I / §8

فرمول چهار جزء — صورت (D)

روی مرز مثلث B، a، C، b را دنبال کنید. ضلع داخلی a میان دو زاویه و زاویهٔ داخلی C میان دو ضلع است. رابطهٔ نهایی c و A را حذف می‌کند.

آزمایش روی کرههمهٔ درس‌ها

پیش از شروع: نماد و واحد

a، b، c اضلاع زاویه‌ای و A، B، C زاویه‌های رأس مقابل‌اند. طول کمان برابر شعاع ضرب در زاویهٔ رادیانی است. مثلث معمول را محدب و غیرمنحط با کمان‌های کوتاه می‌گیریم.

روابط اصلی

cos⁡acos⁡C=sin⁡acot⁡b−sin⁡Ccot⁡B\cos a\cos C=\sin a\cot b-\sin C\cot B

رابطهٔ چهار جزء

01

چهار جزء متوالی

روی مرز مثلث B، a، C، b را دنبال کنید. ضلع داخلی a میان دو زاویه و زاویهٔ داخلی C میان دو ضلع است. رابطهٔ نهایی c و A را حذف می‌کند.

02

قاعدهٔ حفظی پس از استنتاج

اثبات پایین جایگزینی cos c، انتقال جمله و استفاده از قانون سینوس را جدا نشان می‌دهد. حذف یک عامل فقط وقتی ناصفر است مجاز است؛ حالت حدی را از صورت تقسیم‌نشده یا پیوستگی کنترل کنید.

شکل و ساخت هندسی

ABCabcتصویر قائم · کرهٔ واحد · کمان‌های کوتاه
کمان‌ها از تقاطع صفحهٔ مرکزی با کره محاسبه شده‌اند. خط‌چین پشت کره است.

استنتاج پیوسته

کارگاه اثبات ←

Smart I §8, formula (D)

1. انتخاب صورت مناسب

صورت چرخه‌ای فرمول مشابه را طوری می‌گیریم که cos C ظاهر شود.

sin⁡bcos⁡C=cos⁡csin⁡a−sin⁡ccos⁡acos⁡B\sin b\cos C=\cos c\sin a-\sin c\cos a\cos B

2. حذف cos c

از قانون کسینوس برای c استفاده می‌کنیم و حاصل‌ضرب sin a را در تمام عبارت پخش می‌کنیم.

sin⁡bcos⁡C=cos⁡asin⁡acos⁡b+sin⁡2asin⁡bcos⁡C−sin⁡ccos⁡acos⁡B\sin b\cos C=\cos a\sin a\cos b+\sin^2a\sin b\cos C-\sin c\cos a\cos B

3. انتقال و حذف مجاز

جملهٔ cos C را به چپ می‌بریم و 1 − sin² a = cos² a را به‌کار می‌بریم. اگر cos a ناصفر باشد آن را حذف می‌کنیم. حالت a قائم با پیوستگی یا رابطهٔ قبل برقرار است.

sin⁡bcos⁡acos⁡C=sin⁡acos⁡b−sin⁡ccos⁡B\sin b\cos a\cos C=\sin a\cos b-\sin c\cos B

4. استفاده از قانون سینوس

بر sin b تقسیم می‌کنیم؛ سپس sin c / sin b را با sin C / sin B عوض می‌کنیم. هر دو مخرج مثبت‌اند.

cos⁡acos⁡C=sin⁡acot⁡b−sin⁡Ccot⁡B\boxed{\cos a\cos C=\sin a\cot b-\sin C\cot B}

مثال حل‌شده و کنترل نتیجه

کاربرد تألیفی

داده‌ها: برای C = 90 درجه، فرمول چهار جزء چه رابطه‌ای برای tan B می‌دهد؟ شرط تقسیم را بنویسید.

خواسته: نتیجه را با روابط همین درس و کنترل واحدها به دست آورید.

  1. گام 1

    ابتدا قرارداد علامت‌ها و داده‌های معلوم را مشخص کنید؛ سپس رابطهٔ متناسب را انتخاب کنید.

  2. گام 2

    پس از جایگذاری و ساده‌سازی، نتیجهٔ زیر به دست می‌آید. شرایط وجود و ربع را نیز کنترل کنید.

    cot⁡B=sin⁡acot⁡b,tan⁡B=tan⁡bsin⁡a\cot B=\sin a\cot b,\quad\tan B=\frac{\tan b}{\sin a}

نتیجهٔ نهایی در رابطهٔ بالا آمده است؛ زاویه و طول را با یکدیگر مخلوط نکنید.

خودآزمایی

برای C = 90 درجه، فرمول چهار جزء چه رابطه‌ای برای tan B می‌دهد؟ شرط تقسیم را بنویسید.

تمرین تألیفی

نمایش پاسخ و مقایسه
cot⁡B=sin⁡acot⁡b,tan⁡B=tan⁡bsin⁡a\cot B=\sin a\cot b,\quad\tan B=\frac{\tan b}{\sin a}

فرض‌ها و دامنهٔ اعتبار روابط این درس را بنویسید و یک حالت ویژه را با جایگذاری مستقیم بررسی کنید.

تمرین تألیفی

MANDERIA

آسمان را با ماندریا کشف کنید

برای کار با کرهٔ سه‌بعدی، حسگر ستاره و اطلس صوفی، با حساب گوگل خود وارد شوید. درس‌نامهٔ کروی بدون ورود هم در دسترس است.

فقط مشخصات پایهٔ حساب و ایمیل تأییدشده ذخیره می‌شود؛ به صندوق Gmail شما دسترسی نداریم. حریم خصوصی