ماندریاهندسهٔ آسمان را کشف کنید

اسمارت / فصل I / §§9–10

مثلث قائم و قواعد نپر

قائمه بودن C شرط روی زاویه است؛ ربعی بودن c شرط روی ضلع. قطبی گرفتن این دو را به هم تبدیل می‌کند. در هندسهٔ کروی وتر لزوماً از هر دو ساق بلندتر نیست.

آزمایش روی کرههمهٔ درس‌ها

پیش از شروع: نماد و واحد

a، b، c اضلاع زاویه‌ای و A، B، C زاویه‌های رأس مقابل‌اند. طول کمان برابر شعاع ضرب در زاویهٔ رادیانی است. مثلث معمول را محدب و غیرمنحط با کمان‌های کوتاه می‌گیریم.

روابط اصلی

C=π2⇒cos⁡c=cos⁡acos⁡bC=\frac\pi2\Rightarrow\cos c=\cos a\cos b

کسینوس قائم

sin⁡a=sin⁡Asin⁡c,sin⁡b=sin⁡Bsin⁡c\sin a=\sin A\sin c,\quad\sin b=\sin B\sin c

روابط سینوسی ساق‌ها

01

قائم‌الزاویه با ربعی فرق دارد

قائمه بودن C شرط روی زاویه است؛ ربعی بودن c شرط روی ضلع. قطبی گرفتن این دو را به هم تبدیل می‌کند. در هندسهٔ کروی وتر لزوماً از هر دو ساق بلندتر نیست.

02

ترتیب پنج جزء

اجزای دایره را به ترتیب a، b، متمم A، متمم c، متمم B قرار دهید. همسایه و مقابل از همین ترتیب تعریف می‌شوند؛ ترتیب دلخواه مجاز نیست. هر قاعده را با قانون سینوس یا کسینوس قائم کنترل کنید.

شکل و ساخت هندسی

ABCabcتصویر قائم · کرهٔ واحد · کمان‌های کوتاه
کمان‌ها از تقاطع صفحهٔ مرکزی با کره محاسبه شده‌اند. خط‌چین پشت کره است.

استنتاج پیوسته

کارگاه اثبات ←

Smart I §10; algebraic explanation

1. فرض قائم بودن

فقط C را قائم می‌گیریم؛ c ضلع روبه‌روی آن است. قائمه بودن زاویه با ربعی بودن ضلع یکی نیست.

C=π2,cos⁡c=cos⁡acos⁡bC=\frac\pi2,\qquad\cos c=\cos a\cos b

2. دو رابطهٔ پایه

قانون سینوس چون sin C = 1 است فوراً این دو رابطه را می‌دهد.

sin⁡a=sin⁡Asin⁡c,sin⁡b=sin⁡Bsin⁡c\sin a=\sin A\sin c,\qquad\sin b=\sin B\sin c

3. قاعدهٔ مجاورها

از قانون کسینوس برای b و رابطهٔ cos c = cos a cos b، پس از انتقال جمله‌ها داریم cos b sin² a = sin c sin a cos B. چون sin a مثبت است، sin a cos b = sin c cos B. با sin B = sin b / sin c نتیجه می‌شود tan B = tan b / sin a؛ در صفر شدن کسینوس‌ها از صورت ضربی استفاده کنید. رابطهٔ cos A با جابه‌جایی چرخه‌ای به دست می‌آید.

cos⁡A=sin⁡Bcos⁡a,tan⁡b=tan⁡Bsin⁡a\cos A=\sin B\cos a,\qquad\tan b=\tan B\sin a

4. دایرهٔ پنج جزء

اجزا را با همین ترتیب دور دایره بچینید. برای هر جزء میانه، دو همسایه مجاور و دو جزء دیگر مقابل‌اند. نمونهٔ میانه b رابطهٔ مرحلهٔ قبل را بازگو می‌کند.

a, b, π2−A, π2−c, π2−Ba,\ b,\ \frac\pi2-A,\ \frac\pi2-c,\ \frac\pi2-B

5. معنای دو قاعده

برای میانهٔ π/2 − c، مقابل‌ها a و b هستند و قاعدهٔ کسینوس همان قانون کسینوس قائم است. قواعد نپر ابزار یادآوری این روابط‌اند؛ در صفر شدن مخرج از صورت ضربی استفاده کنید.

sin⁡(middle)=tan⁡(adjacent1)tan⁡(adjacent2)=cos⁡(opposite1)cos⁡(opposite2)\sin(\text{middle})=\tan(\text{adjacent}_1)\tan(\text{adjacent}_2)=\cos(\text{opposite}_1)\cos(\text{opposite}_2)

مثال حل‌شده و کنترل نتیجه

کاربرد تألیفی

داده‌ها: برای a = 30 درجه و B = 50 درجه و C قائم، c را به دست آورید.

خواسته: نتیجه را با روابط همین درس و کنترل واحدها به دست آورید.

  1. گام 1

    از فرمول چهار جزء برای C قائم داریم tan a = cos B tan c. چون a حاد و cos B مثبت است، c را در بازهٔ حاد انتخاب می‌کنیم.

  2. گام 2

    پس از جایگذاری و ساده‌سازی، نتیجهٔ زیر به دست می‌آید. شرایط وجود و ربع را نیز کنترل کنید.

    tan⁡c=tan⁡30∘cos⁡50∘,c≃41.93011∘\tan c=\frac{\tan30^\circ}{\cos50^\circ},\quad c\simeq41.93011^\circ

نتیجهٔ نهایی در رابطهٔ بالا آمده است؛ زاویه و طول را با یکدیگر مخلوط نکنید.

خودآزمایی

برای a = 30 درجه و B = 50 درجه و C قائم، c را به دست آورید.

تمرین تألیفی

نمایش پاسخ و مقایسه
tan⁡c=tan⁡30∘cos⁡50∘,c≃41.93011∘\tan c=\frac{\tan30^\circ}{\cos50^\circ},\quad c\simeq41.93011^\circ

فرض‌ها و دامنهٔ اعتبار روابط این درس را بنویسید و یک حالت ویژه را با جایگذاری مستقیم بررسی کنید.

تمرین تألیفی

MANDERIA

آسمان را با ماندریا کشف کنید

برای کار با کرهٔ سه‌بعدی، حسگر ستاره و اطلس صوفی، با حساب گوگل خود وارد شوید. درس‌نامهٔ کروی بدون ورود هم در دسترس است.

فقط مشخصات پایهٔ حساب و ایمیل تأییدشده ذخیره می‌شود؛ به صندوق Gmail شما دسترسی نداریم. حریم خصوصی