ماندریاهندسهٔ آسمان را کشف کنید

اسمارت / فصل I / §11

مثلث قطبی و فرمول زوایا

هر ضلع دو قطب پادپا دارد. قطب BC را در نیم‌کرهٔ A انتخاب کنید و چرخه‌ای ادامه دهید. علامت ناسازگار روابط مکمل را تغییر می‌دهد.

آزمایش روی کرههمهٔ درس‌ها

پیش از شروع: نماد و واحد

a، b، c اضلاع زاویه‌ای و A، B، C زاویه‌های رأس مقابل‌اند. طول کمان برابر شعاع ضرب در زاویهٔ رادیانی است. مثلث معمول را محدب و غیرمنحط با کمان‌های کوتاه می‌گیریم.

روابط اصلی

a′=π−A,A′=π−aa^{\prime}=\pi-A,\quad A^{\prime}=\pi-a

روابط قطبی

cos⁡A=−cos⁡Bcos⁡C+sin⁡Bsin⁡Ccos⁡a\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a

کسینوس زوایا

01

انتخاب قطب‌های داخلی

هر ضلع دو قطب پادپا دارد. قطب BC را در نیم‌کرهٔ A انتخاب کنید و چرخه‌ای ادامه دهید. علامت ناسازگار روابط مکمل را تغییر می‌دهد.

02

دوگانگی و حل از سه زاویه

ضلع قطبی مکمل زاویهٔ اصلی است، نه برابر آن. جانشینی کامل در قانون اضلاع، قانون زوایا را می‌دهد. در هندسهٔ کروی، سه زاویه می‌توانند اضلاع را تعیین کنند؛ اندازهٔ زاویه‌ای مستقل از شکل نیست.

شکل و ساخت هندسی

ABCabcتصویر قائم · کرهٔ واحد · کمان‌های کوتاه
کمان‌ها از تقاطع صفحهٔ مرکزی با کره محاسبه شده‌اند. خط‌چین پشت کره است.

استنتاج پیوسته

کارگاه اثبات ←

Smart I §11

1. انتخاب قطب‌های درست

A′ را قطب عظیمهٔ BC در نیم‌کرهٔ A می‌گیریم و چرخه‌ای ادامه می‌دهیم. انتخاب علامت قطب ضروری است؛ قطب مقابل مثلث دیگری می‌دهد.

u′=v×w∥v×w∥with inward sign\mathbf u^{\prime}=\frac{\mathbf v\times\mathbf w}{\|\mathbf v\times\mathbf w\|}\quad\text{with inward sign}

2. زاویهٔ بین عمودها

عمودهای داخلی بر صفحه‌های AB و AC زاویهٔ مکمل زاویهٔ داخلی A می‌سازند. پس ضلع روبه‌روی A′ برابر π − A است. دوباره قطبی گرفتن مثلث اولیه را برمی‌گرداند.

a′=π−A, b′=π−B, c′=π−C,A′=π−aa^{\prime}=\pi-A,\ b^{\prime}=\pi-B,\ c^{\prime}=\pi-C,\quad A^{\prime}=\pi-a

3. کسینوس روی قطبی

صورت بنیادی را برای مثلث قطبی می‌نویسیم و همهٔ اجزای قطبی را یکجا جایگزین می‌کنیم.

cos⁡(π−A)=cos⁡(π−B)cos⁡(π−C)+sin⁡(π−B)sin⁡(π−C)cos⁡(π−a)\cos(\pi-A)=\cos(\pi-B)\cos(\pi-C)+\sin(\pi-B)\sin(\pi-C)\cos(\pi-a)

4. کنترل علامت‌ها

کسینوس مکمل منفی و سینوس مکمل مثبت است. پس از ضرب در منفی یک، فرمول زوایا به دست می‌آید.

cos⁡A=−cos⁡Bcos⁡C+sin⁡Bsin⁡Ccos⁡a\boxed{\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a}

مثال حل‌شده و کنترل نتیجه

کاربرد تألیفی

داده‌ها: مثلثی با اضلاع 90 درجه چه مثلث قطبی‌ای دارد؟ فرمول مکمل را کنترل کنید.

خواسته: نتیجه را با روابط همین درس و کنترل واحدها به دست آورید.

  1. گام 1

    ابتدا قرارداد علامت‌ها و داده‌های معلوم را مشخص کنید؛ سپس رابطهٔ متناسب را انتخاب کنید.

  2. گام 2

    پس از جایگذاری و ساده‌سازی، نتیجهٔ زیر به دست می‌آید. شرایط وجود و ربع را نیز کنترل کنید.

    a=b=c=A=B=C=90∘⇒a′=b′=c′=90∘a=b=c=A=B=C=90^\circ\Rightarrow a^{\prime}=b^{\prime}=c^{\prime}=90^\circ

نتیجهٔ نهایی در رابطهٔ بالا آمده است؛ زاویه و طول را با یکدیگر مخلوط نکنید.

خودآزمایی

مثلثی با اضلاع 90 درجه چه مثلث قطبی‌ای دارد؟ فرمول مکمل را کنترل کنید.

تمرین تألیفی

نمایش پاسخ و مقایسه
a=b=c=A=B=C=90∘⇒a′=b′=c′=90∘a=b=c=A=B=C=90^\circ\Rightarrow a^{\prime}=b^{\prime}=c^{\prime}=90^\circ

فرض‌ها و دامنهٔ اعتبار روابط این درس را بنویسید و یک حالت ویژه را با جایگذاری مستقیم بررسی کنید.

تمرین تألیفی

MANDERIA

آسمان را با ماندریا کشف کنید

برای کار با کرهٔ سه‌بعدی، حسگر ستاره و اطلس صوفی، با حساب گوگل خود وارد شوید. درس‌نامهٔ کروی بدون ورود هم در دسترس است.

فقط مشخصات پایهٔ حساب و ایمیل تأییدشده ذخیره می‌شود؛ به صندوق Gmail شما دسترسی نداریم. حریم خصوصی