اسمارت / فصل I / §§12–14

مثال عددی اسمارت و فرمول هاورساین

دو مکان A و B را به قطب شمال وصل کنید. اضلاع قطبی متمم عرض‌ها و زاویهٔ شامل اختلاف طول است. از اختلاف طول جهت‌دار هم می‌توان استفاده کرد چون کسینوس و هاورساین زوج‌اند.

آزمایش روی کره همهٔ درس‌ها

پیش از شروع: نماد و واحد

a، b، c اضلاع زاویه‌ای و A، B، C زاویه‌های رأس مقابل‌اند. طول کمان برابر شعاع ضرب در زاویهٔ رادیانی است. مثلث معمول را محدب و غیرمنحط با کمان‌های کوتاه می‌گیریم.

روابط اصلی

\operatorname{hav}t=\sin^2\frac t2

تعریف هاورساین

\operatorname{hav}a=\operatorname{hav}(b-c)+\sin b\sin c\operatorname{hav}A

فرمول هاورساین

ساخت مثلث دو مکان

فاصله با هاورساین

جانشینی فاصله‌های قطبی فرمول زیر را می‌دهد. q را فقط برای خطای کوچک گردکردن به بازهٔ صفر تا یک محدود کنید؛ این کار جای اعتبارسنجی داده نیست.

q=\operatorname{hav}(\varphi_2-\varphi_1)+\cos\varphi_1\cos\varphi_2\operatorname{hav}(\Delta\lambda),\quad\sigma=2\arcsin\sqrt q

فاصلهٔ فیزیکی و پادپا

طول عظیمه Rσ است با σ رادیانی. روی زمین واقعی، مدل کروی تقریبی است. نزدیک پادپا جهت مسیر حساس و در پادپای دقیق مسیر کوتاه غیر یکتا است.

شکل و ساخت هندسی

صفحهٔ مرکزی عظیمه می‌سازد؛ صغیره با فاصلهٔ ثابت از قطب قرار دارد.

استنتاج پیوسته

کارگاه اثبات ←

Smart I §§12–13, formulae (21)–(23)

1. تعریف

از اتحاد نیم‌زاویه استفاده می‌کنیم؛ hav نام تابع جدیدی بر پایهٔ سینوس است، نه معکوس آن.

\operatorname{hav}t=\sin^2\frac t2=\frac{1-\cos t}{2}

2. بازنویسی کسینوس

cos A را با 1 − 2 hav A عوض می‌کنیم و دو جملهٔ اول را به cos(b − c) تبدیل می‌کنیم.

\cos a=\cos(b-c)-2\sin b\sin c\operatorname{hav}A

3. کم کردن از یک

هر دو طرف را از 1 کم کرده بر 2 تقسیم می‌کنیم. هر عبارت (1 − cos t)/2 هاورساین t است.

\boxed{\operatorname{hav}a=\operatorname{hav}(b-c)+\sin b\sin c\operatorname{hav}A}

4. بازیابی و دقت عددی

در بازهٔ صفر تا π ریشهٔ مثبت و arcsin جواب یکتا می‌دهند. برای جدایی‌های کوچک، sin²(a/2) از تفریق دو عدد نزدیک به 1 جلوگیری می‌کند؛ نزدیک پادپا از atan2 برداری استفاده کنید.

a=2\arcsin\sqrt{\operatorname{hav}a}

بازآزمایی مثال بند 12

Smart I §12, pp. 16–18, Fig. 9

داده‌ها: A: 24°18′N، 133°39′E · B: 36°47′N، 125°24′W

خواسته: AB، زاویه در A، عرض بالاترین نقطهٔ AB.

گام 1
PA = 65°42′، PB = 53°13′، APB = 100°57′.
گام 2
فرمول (A) برای AB.
$\cos AB=\cos PA\cos PB+\sin PA\sin PB\cos H,\quad AB\simeq83.81404^\circ$
گام 3
زاویهٔ A روبه‌روی PB است. آن را با صورت حل‌شدهٔ قانون کسینوس از سه ضلع می‌یابیم؛ ترتیب اضلاع را جابه‌جا نکنید.
$\cos A=\frac{\cos PB-\cos PA\cos AB}{\sin PA\sin AB},\quad A\simeq52.27241^\circ$
گام 4
از A تا نزدیک‌ترین نقطه به قطب، مثلث قائم با قطب می‌سازیم. قانون سینوس در آن، فاصلهٔ قطبی کمینه را از زاویهٔ A تعیین می‌کند؛ برای مسیر این مثال، نقطهٔ بیشینه روی کمان کوتاه قرار دارد.
$\cos\varphi_{\max}=\sin PA\sin A$

جدایی، زاویهٔ A و بیشینهٔ عرض از روابط بالا به دست می‌آیند؛ تبدیل 60 مایل دریایی بر درجه تقریبی است.

بررسی زندهٔ اسمارت، فصل اول، بند 12، شکل 9

PA, PB, ∠APB65° 42′ 0″, 53° 13′ 0″, 100° 57′ 0″

AB از (A)83° 48′ 50.6″ = 5028.8 nmi

AB از هاورساین (23)83° 48′ 50.6″

زاویهٔ A از (9)52° 16′ 20.7″

محاسبه با داده‌های مثال کتاب؛ تبدیل به مایل دریایی بر مدل کروی و تقریب 60 مایل بر درجه تکیه دارد.

خودآزمایی

دو مکان روی استوا با اختلاف طول 0٫001 درجه چه جدایی زاویه‌ای دارند؟ چرا هاورساین مناسب است؟

تمرین تألیفی

نمایش پاسخ و مقایسه

\sigma=0.001^\circ=1.74532925\times10^{-5}\ \mathrm{rad}

فرض‌ها و دامنهٔ اعتبار روابط این درس را بنویسید و یک حالت ویژه را با جایگذاری مستقیم بررسی کنید.

تمرین تألیفی