ماندریاهندسهٔ آسمان را کشف کنید

اسمارت / فصل I / §§15–16

زوایای کوچک، دلامبر و قیاسی‌های نپر

sin θ تقریباً θ فقط برای θ رادیانی درست است. یک دقیقهٔ زمان 15 دقیقهٔ قوسی، یعنی 900 ثانیهٔ قوسی است؛ ضریب 15 تقسیم بر 206265 برای دقیقهٔ زمان یک عامل 60 کم دارد.

آزمایش روی کرههمهٔ درس‌ها

پیش از شروع: نماد و واحد

a، b، c اضلاع زاویه‌ای و A، B، C زاویه‌های رأس مقابل‌اند. طول کمان برابر شعاع ضرب در زاویهٔ رادیانی است. مثلث معمول را محدب و غیرمنحط با کمان‌های کوتاه می‌گیریم.

روابط اصلی

1 h=15∘,1 mintime=900′′1\,\mathrm h=15^\circ,\quad1\,\mathrm{min}_{time}=900^{\prime\prime}

تبدیل دقیق زمان و قوس

tan⁡a+b2=cos⁡((A−B)/2)cos⁡((A+B)/2)tan⁡c2\tan\frac{a+b}2=\frac{\cos((A-B)/2)}{\cos((A+B)/2)}\tan\frac c2

قیاس مجموع اضلاع

01

واحد تقریب زاویهٔ کوچک

sin θ تقریباً θ فقط برای θ رادیانی درست است. یک دقیقهٔ زمان 15 دقیقهٔ قوسی، یعنی 900 ثانیهٔ قوسی است؛ ضریب 15 تقسیم بر 206265 برای دقیقهٔ زمان یک عامل 60 کم دارد.

Hrad=π720Htime minutesH_{\rm rad}=\frac{\pi}{720}H_{\rm time\ minutes}

02

تقریب را با تساوی جدا کنید

یک رادیان دقیقاً 648000 تقسیم بر π ثانیهٔ قوسی است. 206265 گرد شده و سینوس یک ثانیه فقط تقریباً معکوس آن است.

03

قیاس از نسبت هویت‌ها

در اثبات پایین، چهار هویت دلامبر از ضرب فرمول‌های نیم‌زاویه و اتحادهای جمع به ضرب ساخته می‌شوند؛ سپس تقسیم جفت‌های مشخص، قیاس‌های نپر را می‌دهد. برای معکوس تانژانت، ربع را جداگانه کنترل کنید.

شکل و ساخت هندسی

ABCabcتصویر قائم · کرهٔ واحد · کمان‌های کوتاه
کمان‌ها از تقاطع صفحهٔ مرکزی با کره محاسبه شده‌اند. خط‌چین پشت کره است.

استنتاج پیوسته

کارگاه اثبات ←

Smart I §16, (45)–(52); full derivation from §5 half-angle identities

1. از نیم‌زاویه‌های اثبات‌شده

در مثلث معمول، همهٔ نیم‌زاویه‌های رأس در ربع اول‌اند. ریشه‌های مثبت فرمول‌های نیم‌زاویه معتبرند. s نیم‌محیط و Q = cos(C/2) را تعریف می‌کنیم.

s=a+b+c2,Q=sin⁡ssin⁡(s−c)sin⁡asin⁡b=cos⁡C2s=\frac{a+b+c}{2},\quad Q=\sqrt{\frac{\sin s\sin(s-c)}{\sin a\sin b}}=\cos\frac C2

2. ضرب دو فرمول نیم‌زاویه

فرمول sin(A/2) را در cos(B/2) ضرب کنید. زیر ریشه، sin²(s−b) ظاهر می‌شود؛ چون صفر < s−b < π، ریشهٔ آن sin(s−b) است. با جابه‌جایی A و B رابطهٔ دوم می‌آید.

sin⁡A2cos⁡B2=Qsin⁡(s−b)sin⁡ccos⁡A2sin⁡B2=Qsin⁡(s−a)sin⁡c\begin{aligned}\sin\frac A2\cos\frac B2&=\frac{Q\sin(s-b)}{\sin c}\\\cos\frac A2\sin\frac B2&=\frac{Q\sin(s-a)}{\sin c}\end{aligned}

3. جمع و تفاضل؛ دو اتحاد نخست

تفاضل دو رابطه سینوس نیم‌تفاضل و جمعشان سینوس نیم‌مجموع زوایا را می‌دهد. از اتحاد جمع به ضرب برای sin(s−b) ± sin(s−a) و sin c = 2 sin(c/2) cos(c/2) استفاده کنید.

sin⁡c2sin⁡A−B2=cos⁡C2sin⁡a−b2cos⁡c2sin⁡A+B2=cos⁡C2cos⁡a−b2\begin{aligned}\sin\frac c2\sin\frac{A-B}2&=\cos\frac C2\sin\frac{a-b}2\\\cos\frac c2\sin\frac{A+B}2&=\cos\frac C2\cos\frac{a-b}2\end{aligned}

4. جفت ضربی دوم

اکنون sin(A/2) sin(B/2) و cos(A/2) cos(B/2) را با همان فرمول‌های نیم‌زاویه حساب می‌کنیم. این بار عامل مشترک sin(C/2) است.

cos⁡A2cos⁡B2=sin⁡(C/2)sin⁡ssin⁡csin⁡A2sin⁡B2=sin⁡(C/2)sin⁡(s−c)sin⁡c\begin{aligned}\cos\frac A2\cos\frac B2&=\frac{\sin(C/2)\sin s}{\sin c}\\\sin\frac A2\sin\frac B2&=\frac{\sin(C/2)\sin(s-c)}{\sin c}\end{aligned}

5. دو اتحاد باقی‌مانده

جمع دو رابطه کسینوس نیم‌تفاضل و تفاضلشان کسینوس نیم‌مجموع است. با اتحادهای sin s ± sin(s−c)، دو فرمول دیگر دلامبر به دست می‌آیند. اکنون هر چهار هویت از نیم‌زاویه‌ها استنتاج شده‌اند.

sin⁡c2cos⁡A−B2=sin⁡C2sin⁡a+b2cos⁡c2cos⁡A+B2=sin⁡C2cos⁡a+b2\begin{aligned}\sin\frac c2\cos\frac{A-B}2&=\sin\frac C2\sin\frac{a+b}2\\\cos\frac c2\cos\frac{A+B}2&=\sin\frac C2\cos\frac{a+b}2\end{aligned}

6. تقسیم و قیاس مجموع

دو رابطهٔ مرحلهٔ قبل را تقسیم می‌کنیم؛ عامل sin(C/2) حذف می‌شود. وقتی مخرج صفر است همان صورت‌های ضربی معتبر می‌مانند و نباید تانژانت متناهی تحمیل کرد.

tan⁡a+b2=cos⁡((A−B)/2)cos⁡((A+B)/2)tan⁡c2\boxed{\tan\frac{a+b}2=\frac{\cos((A-B)/2)}{\cos((A+B)/2)}\tan\frac c2}

7. قیاس تفاضل و ربع

با تقسیم دو رابطهٔ مرحلهٔ سوم، قیاس تفاضل حاصل می‌شود. تانژانت به تنهایی ربع را تعیین نمی‌کند؛ دامنهٔ اجزا و صورت‌های ضربی را برای بازیابی زاویه بررسی کنید.

tan⁡a−b2=sin⁡((A−B)/2)sin⁡((A+B)/2)tan⁡c2\tan\frac{a-b}2=\frac{\sin((A-B)/2)}{\sin((A+B)/2)}\tan\frac c2

مثال حل‌شده و کنترل نتیجه

کاربرد تألیفی

داده‌ها: یک دقیقهٔ زمان چند ثانیهٔ قوسی و چند رادیان است؟ تقریب سینوس آن را بنویسید.

خواسته: نتیجه را با روابط همین درس و کنترل واحدها به دست آورید.

  1. گام 1

    ابتدا قرارداد علامت‌ها و داده‌های معلوم را مشخص کنید؛ سپس رابطهٔ متناسب را انتخاب کنید.

  2. گام 2

    پس از جایگذاری و ساده‌سازی، نتیجهٔ زیر به دست می‌آید. شرایط وجود و ربع را نیز کنترل کنید.

    1 mintime=900′′=π/720 rad,sin⁡H≃0.004363321\,\mathrm{min}_{time}=900^{\prime\prime}=\pi/720\ \mathrm{rad},\quad\sin H\simeq0.00436332

نتیجهٔ نهایی در رابطهٔ بالا آمده است؛ زاویه و طول را با یکدیگر مخلوط نکنید.

خودآزمایی

یک دقیقهٔ زمان چند ثانیهٔ قوسی و چند رادیان است؟ تقریب سینوس آن را بنویسید.

تمرین تألیفی

نمایش پاسخ و مقایسه
1 mintime=900′′=π/720 rad,sin⁡H≃0.004363321\,\mathrm{min}_{time}=900^{\prime\prime}=\pi/720\ \mathrm{rad},\quad\sin H\simeq0.00436332

فرض‌ها و دامنهٔ اعتبار روابط این درس را بنویسید و یک حالت ویژه را با جایگذاری مستقیم بررسی کنید.

تمرین تألیفی

MANDERIA

آسمان را با ماندریا کشف کنید

برای کار با کرهٔ سه‌بعدی، حسگر ستاره و اطلس صوفی، با حساب گوگل خود وارد شوید. درس‌نامهٔ کروی بدون ورود هم در دسترس است.

فقط مشخصات پایهٔ حساب و ایمیل تأییدشده ذخیره می‌شود؛ به صندوق Gmail شما دسترسی نداریم. حریم خصوصی