اسمارت / فصل I / supplement (Girard / L’Huilier)

مساحت مثلث کروی (مکمل المپیاد)

زیادی E مجموع زاویه‌ها منهای π است و زاویه‌ها باید رادیانی باشند. روی کرهٔ واحد مساحت عددی برابر E است؛ زاویهٔ فضایی استرادیان و مساحت فیزیکی واحد طول مربع دارد.

آزمایش روی کره همهٔ درس‌ها

پیش از شروع: نماد و واحد

a، b، c اضلاع زاویه‌ای و A، B، C زاویه‌های رأس مقابل‌اند. طول کمان برابر شعاع ضرب در زاویهٔ رادیانی است. مثلث معمول را محدب و غیرمنحط با کمان‌های کوتاه می‌گیریم.

روابط اصلی

E=A+B+C-\pi,\quad S=R^2E

قضیهٔ ژیرار

مساحت از زیادی کروی

اگر تنها اضلاع معلوم‌اند

فرمول ل‌هویلیه از اضلاع، E را بدون تفریق مجموع زاویه‌های تقریباً مسطح می‌دهد. این نتیجهٔ محاسباتی مستقل است؛ اثبات ژیرار پایین با شمارش صریح هلال‌ها انجام می‌شود.

\tan\frac E4=\sqrt{\tan\frac s2\tan\frac{s-a}2\tan\frac{s-b}2\tan\frac{s-c}2},\quad s=\frac{a+b+c}2

شکل و ساخت هندسی

کمان‌ها از تقاطع صفحهٔ مرکزی با کره محاسبه شده‌اند. خط‌چین پشت کره است.

استنتاج پیوسته

کارگاه اثبات ←

Olympiad supplement; not a numbered Smart I section

1. مساحت هلال

زاویه‌ها رادیانی‌اند. هلال با زاویهٔ A سهم A/(2π) از سطح 4πR² دارد؛ پس مساحت آن 2AR² است.

L_A=\frac A{2\pi}\,4\pi R^2=2AR^2

2. تقسیم کره به هشت ناحیه

سه عظیمهٔ اضلاع، کره را به چهار جفت ناحیهٔ پادپا تقسیم می‌کنند. مساحت مثلث T و مساحت سه ناحیهٔ دیگر در یک نماینده از هر جفت را U، V، W بنامید. تقارن پادپایی مساحت نیم کره را می‌دهد.

T+U+V+W=2\pi R^2

3. شمارش سه هلال

هلال‌های داخلی در سه رأس به‌ترتیب شامل T با یکی از نواحی U، V، W هستند؛ ممکن است نمایندهٔ پادپای همان ناحیه باشد که مساحت برابر دارد. بنابراین T سه بار و هر ناحیهٔ دیگر یک بار شمرده می‌شود.

L_A+L_B+L_C=3T+U+V+W=2\pi R^2+2T

4. حل برای مساحت

مساحت هلال‌ها را جایگزین و 2T را جدا می‌کنیم. این شمارش، جملهٔ اضافی را توضیح می‌دهد؛ فقط ادعای پوشاندن کل کره کافی نیست.

\boxed{T=R^2(A+B+C-\pi)=R^2E}

5. کنترل با هشتک

سه رأس روی سه محور عمود، سه زاویهٔ قائم دارند. مساحت πR²/2 دقیقاً یک هشتم کره است. فرمول ل‌هویلیه راه محاسبهٔ E از اضلاع است؛ اثبات آن در این استدلال ادعا نمی‌شود.

A=B=C=\frac\pi2\Rightarrow E=\frac\pi2,\quad T=\frac{4\pi R^2}{8}

مثال حل‌شده و کنترل نتیجه

کاربرد تألیفی

داده‌ها: مثلث با اضلاع هر یک 60 درجه را حل کنید: زاویهٔ رأس، زیادی و مساحت کرهٔ واحد چیست؟

خواسته: نتیجه را با روابط همین درس و کنترل واحدها به دست آورید.

گام 1
از قانون کسینوس برای اضلاع مساوی داریم cos A = cos 60 تقسیم بر (1 + cos 60) = یک سوم. سپس E = 3A − π را با A رادیانی حساب می‌کنیم.
گام 2
پس از جایگذاری و ساده‌سازی، نتیجهٔ زیر به دست می‌آید. شرایط وجود و ربع را نیز کنترل کنید.
$A=\arccos(1/3)\simeq70.52878^\circ,\quad E\simeq31.58634^\circ,\quad S\simeq0.5512856$

نتیجهٔ نهایی در رابطهٔ بالا آمده است؛ زاویه و طول را با یکدیگر مخلوط نکنید.

خودآزمایی

مثلث با اضلاع هر یک 60 درجه را حل کنید: زاویهٔ رأس، زیادی و مساحت کرهٔ واحد چیست؟

تمرین تألیفی

نمایش پاسخ و مقایسه

A=\arccos(1/3)\simeq70.52878^\circ,\quad E\simeq31.58634^\circ,\quad S\simeq0.5512856

فرض‌ها و دامنهٔ اعتبار روابط این درس را بنویسید و یک حالت ویژه را با جایگذاری مستقیم بررسی کنید.

تمرین تألیفی