ماندریاهندسهٔ آسمان را کشف کنید

اسمارت / فصل I / §5

فرمول کسینوس — صورت (A)

دو ضلع b و c و زاویهٔ شامل A ضلع a را یکتا تعیین می‌کنند. اگر سه ضلع معلوم باشد، ابتدا وجود مثلث را کنترل و سپس cos A را جدا می‌کنیم. اثبات برداری پایین، برای ضلع منفرجه هم معتبر است.

آزمایش روی کرههمهٔ درس‌ها

پیش از شروع: نماد و واحد

a، b، c اضلاع زاویه‌ای و A، B، C زاویه‌های رأس مقابل‌اند. طول کمان برابر شعاع ضرب در زاویهٔ رادیانی است. مثلث معمول را محدب و غیرمنحط با کمان‌های کوتاه می‌گیریم.

روابط اصلی

cos⁡a=cos⁡bcos⁡c+sin⁡bsin⁡ccos⁡A\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A

کسینوس اضلاع

cos⁡A=cos⁡a−cos⁡bcos⁡csin⁡bsin⁡c\cos A=\frac{\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}

زاویه از سه ضلع

sin⁡A2=sin⁡(s−b)sin⁡(s−c)sin⁡bsin⁡c\sin\frac A2=\sqrt{\frac{\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin b\sin c}}

نیم‌زاویهٔ سینوسی

cos⁡A2=sin⁡ssin⁡(s−a)sin⁡bsin⁡c\cos\frac A2=\sqrt{\frac{\sin s\sin(s-a)}{\sin b\sin c}}

نیم‌زاویهٔ کسینوسی

01

از داده تا مجهول

دو ضلع b و c و زاویهٔ شامل A ضلع a را یکتا تعیین می‌کنند. اگر سه ضلع معلوم باشد، ابتدا وجود مثلث را کنترل و سپس cos A را جدا می‌کنیم. اثبات برداری پایین، برای ضلع منفرجه هم معتبر است.

02

استخراج نیم‌زاویه

صورت 1 − cos A برابر cos(b−c) − cos a بر مخرج sin b sin c است. اتحاد تفاضل کسینوس‌ها صورت را 2 sin(s−b) sin(s−c) می‌کند. نصف این عبارت sin²(A/2) است.

s=a+b+c2,sin⁡2A2=sin⁡(s−b)sin⁡(s−c)sin⁡bsin⁡cs=\frac{a+b+c}{2},\quad\sin^2\frac A2=\frac{\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin b\sin c}

03

هندسه و دقت عددی

نزدیک صفر یا π، معکوس کسینوس حساس است. برای جدایی کوچک از هاورساین و برای کل بازه از atan2 طول ضرب‌برداری و ضرب‌داخلی استفاده کنید. نیم‌زاویه‌ها کاربرد عددی هم دارند.

شکل و ساخت هندسی

ABCabcتصویر قائم · کرهٔ واحد · کمان‌های کوتاه
کمان‌ها از تقاطع صفحهٔ مرکزی با کره محاسبه شده‌اند. خط‌چین پشت کره است.

استنتاج پیوسته

کارگاه اثبات ←

Smart I §5; vector derivation of (A)

1. فرض و نمادگذاری

مثلث محدب و غیرمنحط است؛ a روبه‌روی A است. بردارهای مکان را واحد می‌گیریم. زاویهٔ رأس با طول ضلع تفاوت دارد.

0<a,b,c<π,u⋅v=cos⁡c0<a,b,c<\pi,\quad \mathbf u\cdot\mathbf v=\cos c

2. دو جهت مماس

در A بردارهای مماس واحد به سوی B و C را t و q می‌نامیم. مؤلفهٔ شعاعی B برابر cos c و طول مؤلفهٔ مماسی آن sin c است؛ برای C نیز همین است.

v=cos⁡c u+sin⁡c t,w=cos⁡b u+sin⁡b q\mathbf v=\cos c\,\mathbf u+\sin c\,\mathbf t,\quad \mathbf w=\cos b\,\mathbf u+\sin b\,\mathbf q

3. تعریف زاویه در رأس

هر دو مماس بر شعاع A عمودند و زاویهٔ میانشان دقیقاً A است. پس ضرب‌های شعاع و مماس صفر می‌شوند.

u⋅t=u⋅q=0,t⋅q=cos⁡A\mathbf u\cdot\mathbf t=\mathbf u\cdot\mathbf q=0,\quad \mathbf t\cdot\mathbf q=\cos A

4. بسط ضرب داخلی

ضرب داخلی B و C را از تجزیه‌های قبل بسط می‌دهیم. فاصلهٔ مرکزی B تا C همان a است. این استدلال برای اضلاع منفرجه هم معتبر است و محدودیت ساخت مماس را ندارد.

cos⁡a=cos⁡bcos⁡c+sin⁡bsin⁡ccos⁡A\boxed{\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A}

5. نتیجه و آزمون مرزی

برای A قائم جملهٔ دوم صفر می‌شود. برای مثلث کوچک بسط کسینوس تا مرتبهٔ دوم قانون کسینوس مسطح را می‌دهد.

A=π2⇒cos⁡a=cos⁡bcos⁡c,a2≃b2+c2−2bccos⁡AA=\frac\pi2\Rightarrow\cos a=\cos b\cos c,\qquad a^2\simeq b^2+c^2-2bc\cos A

فاصلهٔ زاویه‌ای دو ستاره

Application of Smart (A) on the polar triangle of two stars

داده‌ها: ستاره 1: δ₁ = +20°؛ ستاره 2: δ₂ = +40°؛ اختلاف بعد Δα = 30°.

خواسته: فاصلهٔ زاویه‌ای d.

  1. گام 1

    از مثلث قطبی دو ستاره، قانون کسینوس را با متمم میل‌ها به کار می‌بریم.

    cos⁡d=sin⁡20∘sin⁡40∘+cos⁡20∘cos⁡40∘cos⁡30∘\cos d=\sin20^\circ\sin40^\circ+\cos20^\circ\cos40^\circ\cos30^\circ
  2. گام 2

    arccos را به درجه حساب و با جایگذاری در رابطه کنترل می‌کنیم.

    d≃32.51492∘d\simeq32.51492^\circ

جدایی زاویه‌ای تقریباً 32٫51492 درجه است.

خودآزمایی

برای b = c = 60 درجه و A = 90 درجه، ضلع a را بیابید و با بسط مسطح مقایسه کنید.

تمرین تألیفی

نمایش پاسخ و مقایسه
cos⁡a=14,a≃75.52249∘\cos a=\frac14,\quad a\simeq75.52249^\circ

فرض‌ها و دامنهٔ اعتبار روابط این درس را بنویسید و یک حالت ویژه را با جایگذاری مستقیم بررسی کنید.

تمرین تألیفی

MANDERIA

آسمان را با ماندریا کشف کنید

برای کار با کرهٔ سه‌بعدی، حسگر ستاره و اطلس صوفی، با حساب گوگل خود وارد شوید. درس‌نامهٔ کروی بدون ورود هم در دسترس است.

فقط مشخصات پایهٔ حساب و ایمیل تأییدشده ذخیره می‌شود؛ به صندوق Gmail شما دسترسی نداریم. حریم خصوصی