ماندریاهندسهٔ آسمان را کشف کنید

اسمارت / فصل II / §§22–23

کرهٔ سماوی زمین‌مرکز و مثلث PZX

P قطب شمال، Z سمت‌الرأس و X جهت ستاره است. اضلاع قطبی متمم عرض و میل و ZX فاصلهٔ سمت‌الرأسی است. زاویهٔ داخلی P کوچک‌ترِ زاویهٔ بین نصف‌النهارهاست؛ برای زمان و سمت از H جهت‌دار استفاده می‌کنیم.

آزمایش روی کرههمهٔ درس‌ها

پیش از شروع: نماد و واحد

φ عرض شمالی مثبت، δ میل شمالی مثبت، H زاویهٔ ساعتی به غرب مثبت، h ارتفاع و z فاصلهٔ سمت‌الرأسی است. سمت A از شمال به شرق است. در شکست جو، ζ فاصلهٔ سمت‌الرأسی مشاهده‌شده است.

روابط اصلی

sin⁡h=sin⁡φsin⁡δ+cos⁡φcos⁡δcos⁡H\sin h=\sin\varphi\sin\delta+\cos\varphi\cos\delta\cos H

ارتفاع هندسی

A=atan2⁡(−cos⁡δsin⁡H,sin⁡δcos⁡φ−cos⁡δsin⁡φcos⁡H)A=\operatorname{atan2}(-\cos\delta\sin H,\sin\delta\cos\varphi-\cos\delta\sin\varphi\cos H)

سمت با ربع درست

01

سه رأس PZX

P قطب شمال، Z سمت‌الرأس و X جهت ستاره است. اضلاع قطبی متمم عرض و میل و ZX فاصلهٔ سمت‌الرأسی است. زاویهٔ داخلی P کوچک‌ترِ زاویهٔ بین نصف‌النهارهاست؛ برای زمان و سمت از H جهت‌دار استفاده می‌کنیم.

02

ربع را حفظ کنید

سمت از شمال به شرق و H به غرب مثبت است. کسینوس به تنهایی علامت H یا ربع A را نمی‌دهد. مؤلفه‌های شرقی و شمالی، سمت را با atan2 تعیین می‌کنند.

03

تبدیل معکوس

از h و A، ابتدا sin δ را با تصویر روی قطب حساب کنید؛ سپس H را از دو مؤلفهٔ زیر با atan2 بیابید. در جهت قطب، بعد و H مستقل تعریف نمی‌شوند.

sin⁡δ=sin⁡φsin⁡h+cos⁡φcos⁡hcos⁡Acos⁡δsin⁡H=−cos⁡hsin⁡Acos⁡δcos⁡H=sin⁡hcos⁡φ−cos⁡hsin⁡φcos⁡A\begin{aligned}\sin\delta&=\sin\varphi\sin h+\cos\varphi\cos h\cos A\\\cos\delta\sin H&=-\cos h\sin A\\\cos\delta\cos H&=\sin h\cos\varphi-\cos h\sin\varphi\cos A\end{aligned}

شکل و ساخت هندسی

ABCabcتصویر قائم · کرهٔ واحد · کمان‌های کوتاه
کمان‌ها از تقاطع صفحهٔ مرکزی با کره محاسبه شده‌اند. خط‌چین پشت کره است.

استنتاج پیوسته

کارگاه اثبات ←

Smart II §23; north-through-east azimuth

1. قراردادهای جهت و واحد

φ عرض شمالی مثبت، δ میل شمالی مثبت و H زاویهٔ ساعتی به غرب مثبت است. سمت A از شمال به شرق اندازه‌گیری می‌شود. H را اگر برحسب ساعت است در 15 ضرب کنید.

PZ=π2−φ,PX=π2−δ,ZX=z=π2−hPZ=\frac\pi2-\varphi,\quad PX=\frac\pi2-\delta,\quad ZX=z=\frac\pi2-h

2. کسینوس برای ضلع z

دو ضلع متصل به قطب و زاویهٔ شامل H را در قانون کسینوس می‌گذاریم. کسینوس متمم به سینوس تبدیل می‌شود.

cos⁡z=sin⁡φsin⁡δ+cos⁡φcos⁡δcos⁡H=sin⁡h\cos z=\sin\varphi\sin\delta+\cos\varphi\cos\delta\cos H=\sin h

3. مؤلفه‌های افقی

مؤلفهٔ شرقی برای H مثبت منفی است. مؤلفهٔ شمالی از تصویر جهت ستاره روی شمال محلی به دست می‌آید. این دو مؤلفه ربع سمت را مشخص می‌کنند.

e=−cos⁡δsin⁡H,n=sin⁡δcos⁡φ−cos⁡δsin⁡φcos⁡He=-\cos\delta\sin H,\qquad n=\sin\delta\cos\varphi-\cos\delta\sin\varphi\cos H

4. حل ربع‌دار

ارتفاع از مؤلفهٔ قائم و سمت از atan2 به دست می‌آیند. در سمت‌الرأس یا سمت‌القدم هر دو مؤلفهٔ افقی صفرند و سمت تعریف ندارد.

h=arcsin⁡(cos⁡z),A=atan2⁡(e,n)(mod2π)h=\arcsin(\cos z),\qquad A=\operatorname{atan2}(e,n)\pmod{2\pi}

5. تبدیل معکوس

برای معکوس، جهت افقی را روی محور قطب تصویر می‌کنیم. برای بازیابی H هر دو مؤلفهٔ سینوسی و کسینوسی لازم‌اند.

sin⁡δ=sin⁡φsin⁡h+cos⁡φcos⁡hcos⁡A\sin\delta=\sin\varphi\sin h+\cos\varphi\cos h\cos A

6. آزمون قابل فهم

در عبور بالایی H صفر است و فاصلهٔ سمت‌الرأسی قدرمطلق φ − δ می‌شود. این آزمون، علامت و واحد را پیش از محاسبات پیچیده کنترل می‌کند.

H=0⇒z=∣φ−δ∣H=0\Rightarrow z=|\varphi-\delta|

ارتفاع از (φ, δ, H)

Smart II §23 (3)

داده‌ها: φ = 35°.7 N (تهران‌مانند)، δ = +16°.5، H = +2ʰ (= 30°).

خواسته: سمت‌الرأسی و ارتفاع.

  1. گام 1

    دو ساعت زاویهٔ ساعتی برابر 30 درجه است. مؤلفهٔ قائم را از قانون کسینوس PZX حساب می‌کنیم.

    sin⁡h=sin⁡35.7∘sin⁡16.5∘+cos⁡35.7∘cos⁡16.5∘cos⁡30∘\sin h=\sin35.7^\circ\sin16.5^\circ+\cos35.7^\circ\cos16.5^\circ\cos30^\circ
  2. گام 2

    ارتفاع را از معکوس سینوس و فاصلهٔ سمت‌الرأسی را از متمم آن می‌یابیم.

    h≃57.14626∘,z=90∘−h≃32.85374∘h\simeq57.14626^\circ,\quad z=90^\circ-h\simeq32.85374^\circ

فاصلهٔ سمت‌الرأسی تقریباً 32٫8537 درجه و ارتفاع 57٫1463 درجه است.

اسمارت فصل دوم، روابط (3) و (4) · عرضی نزدیک به تهران

φ, δ, H35.7°, 16.5°, 30°
z از (3)32° 51′ 13.5″
z از هاورساین (4)32° 51′ 13.5″
ارتفاع a = 90°−z57° 8′ 46.5″

خودآزمایی

برای φ = 35٫7، δ = 16٫5 و H = 30 درجه، ارتفاع را بیابید و محل ستاره را از نظر شرق یا غرب نصف‌النهار مشخص کنید.

تمرین تألیفی

نمایش پاسخ و مقایسه
z≃32.85374∘,h≃57.14626∘,H>0: westz\simeq32.85374^\circ,\quad h\simeq57.14626^\circ,\quad H>0:\ \text{west}

فرض‌ها و دامنهٔ اعتبار روابط این درس را بنویسید و یک حالت ویژه را با جایگذاری مستقیم بررسی کنید.

تمرین تألیفی

MANDERIA

آسمان را با ماندریا کشف کنید

برای کار با کرهٔ سه‌بعدی، حسگر ستاره و اطلس صوفی، با حساب گوگل خود وارد شوید. درس‌نامهٔ کروی بدون ورود هم در دسترس است.

فقط مشخصات پایهٔ حساب و ایمیل تأییدشده ذخیره می‌شود؛ به صندوق Gmail شما دسترسی نداریم. حریم خصوصی