ماندریاهندسهٔ آسمان را کشف کنید

اسمارت / فصل II / §21

ستارگان قطبی‌گذر؛ عبور بالا و پایین

در فرمول ارتفاع h را صفر می‌گذاریم. برای ناظر و ستارهٔ غیرقطبی، تقسیم بر cos φ cos δ مجاز است. اگر قدرمطلق طرف راست از یک بیشتر باشد، عبور از افق وجود ندارد.

آزمایش روی کرههمهٔ درس‌ها

پیش از شروع: نماد و واحد

φ عرض شمالی مثبت، δ میل شمالی مثبت، H زاویهٔ ساعتی به غرب مثبت، h ارتفاع و z فاصلهٔ سمت‌الرأسی است. سمت A از شمال به شرق است. در شکست جو، ζ فاصلهٔ سمت‌الرأسی مشاهده‌شده است.

روابط اصلی

cos⁡H0=−tan⁡φtan⁡δ\cos H_0=-\tan\varphi\tan\delta

زاویهٔ افق

zupper=∣φ−δ∣z_{\rm upper}=|\varphi-\delta|

فاصلهٔ سمت‌الرأسی عبور بالا

01

حل عبور از افق

در فرمول ارتفاع h را صفر می‌گذاریم. برای ناظر و ستارهٔ غیرقطبی، تقسیم بر cos φ cos δ مجاز است. اگر قدرمطلق طرف راست از یک بیشتر باشد، عبور از افق وجود ندارد.

cos⁡H0=−tan⁡φtan⁡δ\cos H_0=-\tan\varphi\tan\delta

02

آزمون هر دو نیم‌کره

کمینهٔ sin h در H = π و بیشینه در H = صفر است. کمینهٔ مثبت یعنی همیشه بالا، بیشینهٔ منفی یعنی همیشه پایین. برابری صفر حالت تماس مماسی است. این آزمون علامت‌دار برای شمال و جنوب یکسان کار می‌کند.

sin⁡hmin⁡=sin⁡φsin⁡δ−cos⁡φcos⁡δ,sin⁡hmax⁡=sin⁡φsin⁡δ+cos⁡φcos⁡δ\sin h_{\min}=\sin\varphi\sin\delta-\cos\varphi\cos\delta,\quad\sin h_{\max}=\sin\varphi\sin\delta+\cos\varphi\cos\delta

03

مدت بالای افق

طلوع در H = منفی H₀ و غروب در مثبت H₀ است. اگر H₀ درجه‌ای باشد، مدت 2H₀ تقسیم بر 15 ساعت نجومی است. شکست، اندازهٔ قرص و عوارض زمین در این مدل نیستند. در قطب از معادلهٔ تقسیم‌نشده استفاده کنید.

شکل و ساخت هندسی

PZXz90°−δ90°−φتصویر قائم · کرهٔ واحد · کمان‌های کوتاه
PZ = 90° − φ · PX = 90° − δ · ZX = z. افق بر OZ عمود است.

مدت بالای افق

Original application of Smart II §31, (24)

داده‌ها: φ = 40°N، δ = +15°.

خواسته: زاویهٔ ساعتی غروب و مدت روز ستاره.

  1. گام 1

    ارتفاع را صفر می‌گذاریم و معادلهٔ کسینوس را برای H₀ حل می‌کنیم. قدرمطلق طرف راست کمتر از یک است، پس طلوع و غروب وجود دارند.

    cos⁡H0=−tan⁡40∘tan⁡15∘,H0≃102.99324∘\cos H_0=-\tan40^\circ\tan15^\circ,\quad H_0\simeq102.99324^\circ
  2. گام 2

    فاصلهٔ زاویه‌ای طلوع تا غروب 2H₀ است. با تقسیم درجه بر 15، ساعت نجومی به دست می‌آید.

    Δtsid=2H0/15≃13.73243 h\Delta t_{\rm sid}=2H_0/15\simeq13.73243\,\mathrm h

H₀ ≈ 103° ≈ 6ʰ52ᵐ؛ مدت ≈ 13ʰ44ᵐ

cos H₀ = −tan φ tan δ

φ, δ40° N, 15°
H₀102° 59′ 35.7″
مدت بالای افق13.73ʰ

خودآزمایی

در عرض 40 درجه شمالی، ستاره‌های با میل مثبت 60 و منفی 60 درجه چه وضعی نسبت به افق دارند؟

تمرین تألیفی

نمایش پاسخ و مقایسه
δ=+60∘: hmin⁡=10∘;δ=−60∘: hmax⁡=−10∘\delta=+60^\circ:\ h_{\min}=10^\circ;\quad\delta=-60^\circ:\ h_{\max}=-10^\circ

فرض‌ها و دامنهٔ اعتبار روابط این درس را بنویسید و یک حالت ویژه را با جایگذاری مستقیم بررسی کنید.

تمرین تألیفی

MANDERIA

آسمان را با ماندریا کشف کنید

برای کار با کرهٔ سه‌بعدی، حسگر ستاره و اطلس صوفی، با حساب گوگل خود وارد شوید. درس‌نامهٔ کروی بدون ورود هم در دسترس است.

فقط مشخصات پایهٔ حساب و ایمیل تأییدشده ذخیره می‌شود؛ به صندوق Gmail شما دسترسی نداریم. حریم خصوصی